军队文职2024中公2024军队文职人员招聘考试 数学2+物理 网盘下载 pdf 免费 2025 在线 epub 电子版

《中公版·2024军队文职人员招聘考试专业辅导教材：数学2 物理》全书严格依据全军面向社会公开招考文职人员统一考试理工学类专业科目（数学2 物理）考试大纲编写，根据考试大纲将全书分为两部分。

部分为数学2，本部分内容包括高等数学（函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程）和线性代数（行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、矩阵的相似化简、二次型）。

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数学2部分篇高等数学

章函数与极限

知识图谱

考纲解读

节函数

第二节极限

第三节连续

第二章一元函数微分学

知识图谱

考纲解读

节导数与微分

第二节导数与微分的计算

第三节微分中值定理

第四节导数的应用

第三章一元函数积分学

知识图谱

考纲解读

节不定积分

第二节定积分

第四章多元函数微分学

知识图谱

考纲解读

节基本概念

第二节偏导数的计算

第三节偏导数的应用

第五章多元函数积分学

知识图谱

考纲解读

节重积分

第二节曲线积分

第三节曲面积分

第四节场论初步

第六章常微分方程

知识图谱

考纲解读

节基本概念

第二节一阶微分方程

第三节高阶微分方程

第二篇线性代数

章行列式

知识图谱

考纲解读

节行列式的相关概念和性质

第二节行列式的计算和应用

第二章矩阵

知识图谱

考纲解读

节矩阵的相关概念

第二节矩阵的运算

第三节逆矩阵

第四节初等矩阵

第五节矩阵的秩

第六节分块矩阵

第三章向量空间

知识图谱

考纲解读

节线性表示与线性相关

第二节极大线性无关组和向量组的秩

第三节内积与正交

第四节向量空间

第四章线性方程组

知识图谱

考纲解读

节基本概念

第二节线性方程组解的判定

第三节线性方程组解的结构

第五章矩阵的相似化简

知识图谱

考纲解读

节特征值和特征向量

第二节矩阵的相似

第三节相似对角化

第四节实对称矩阵

第六章二次型

知识图谱

考纲解读

节二次型及其合同标准形

第二节惯性指数与合同规范形

第三节正定二次型

物理部分章力学

知识图谱

考纲解读

节质点运动学

第二节质点动力学

第三节质点系动力学

第四节刚体力学

第二章热学

知识图谱

考纲解读

节热平衡、气体动理论

第二节热力学定律

第三节热力学第二定律、熵

第三章电磁学

知识图谱

考纲解读

节静电场

第二节有导体、电介质存在时的静电场

第三节稳恒电场

第四节真空中的稳恒磁场

第五节有磁介质存在时的磁场

第六节电磁感应

第七节麦克斯韦方程组

第四章振动、波动和波动光学

知识图谱

考纲解读

节振动

第二节机械波

第三节电磁波

第四节光的干涉

第五节光的衍射

第六节光的偏振

第五章相对论

知识图谱

考纲解读

节狭义相对论

第二节相对论质点力学

第六章量子物理基础

知识图谱

考纲解读

节波粒二象性

第二节量子力学的基本原理及其简单应用

附录物理学简要知识整理

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　　　　第三章一元函数积分学

　　　　本章主要有不定积分和定积分两部分内容。具体要求应试者理解原函数的概念，不定积分，定积分、变上限积分函数的概念，掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质，不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法，牛顿—莱布尼兹公式，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

　　　　节不定积分一、原函数与不定积分的概念及基本性质（一）原函数的概念如果对任一x∈I，都有F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）为f（x）在区间I 上的一个原函数。

　　　　（1）连续函数一定有原函数。

　　　　（2）如果函数存在原函数，那么它的原函数一定不，因为如果F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，那么对任意的常数C，F（x） C也是f（x）在区间I上的原函数。

　　　　（二）不定积分的概念

　　　　在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作∫f（x）dx。其中∫称为积分号，x称为积分变量， f（x）称为被积函数， f（x）dx称为被积表达式。

　　　　（1）要注意对不定积分概念的理解：不定积分是一个集合，它是由函数的所有原函数组成的集合。

　　　　（2）不定积分∫f（x）dx和原函数F（x）之间的关系：首先，不定积分∫f（x）dx是一个集合，F（x）是该集合中的一个元素，所以F（x）∈∫f（x）dx；其次，如果F（x）是f（x）的一个原函数，那么F（x） C也是f（x）的原函数，所以不定积分一般可以表示为∫f（x）dx=F（x） C，其中C为任意常数。

　　　　（3）注意任意常数C相关的运算法则：两个任意常数之间的加、减、乘、除仍然是任意常数。

　　　　（三）不定积分的基本性质

　　　　1.线性性质

　　　　∫［f（x）±g（x）］dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx；

　　　　∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k≠0）。

　　　　后一个公式中要注意k≠0。因为如果k=0时，左边=∫0dx=C，右边=0，此时等式两端不相等。

　　　　2.与导数、微分运算的互逆性

　　　　∫f（x）dx′=f（x）；d∫f（x）dx=f（x）dx；

　　　　∫f′（x）dx=f（x） C；∫df（x）=f（x） C。

　　　　求不定积分是求导的逆运算，所以求积分的所有运算法则和公式从本质上讲都是把求导的公式反过来之后得到的。

　　　　二、不定积分的计算方法2023（一）基本积分公式∫kdx=kx C，k是常数；∫exdx=ex C；

　　　　∫xμdx=xμ 1μ 1 C，μ≠-1；∫axdx=axlna C，a＞0且a≠1；

　　　　∫dxx=lnx C；∫tan xdx=-lncos x C；

　　　　∫dx1 x2=arctan x C；∫cot xdx=lnsin x C；

　　　　∫dx1-x2=arcsin x C；∫sec xdx=lnsec x tan x C；

　　　　∫cos xdx=sin x C；∫csc xdx=lncsc x-cot x C；

　　　　∫sin xdx=-cos x C；∫dxa2 x2=1aarctanxa C，a＞0；

　　　　∫dxcos2x=∫sec2xdx=tan x C；∫dxx2-a2=12alnx-ax a C，a＞0；

　　　　∫dxsin2x=∫csc2xdx=-cot x C；∫dxa2-x2=arcsinxa C，a＞0；

　　　　∫sec xtan xdx=sec x C；∫dxx2 a2=ln（x x2 a2） C，a＞0；

　　　　∫csc xcot xdx=-csc x C；∫dxx2-a2=lnx x2-a2 C，a＞0。

　　　　（二）类换元法（凑微分法）

　　　　定理1设∫f（u）du=F（u） C，又φ（x）可导，则

　　　　∫f［φ（x）］φ′（x）dx=∫f［φ（x）］dφ（x）令u=φ（x）∫f（u）du。

　　　　常见的凑微分公式

　　　　∫f（ax b）dx=1a∫f（ax b）d（ax b），a≠0；

　　　　∫1xf（ln x）dx=∫f（ln x）d（ln x）；

　　　　∫f（axn b）xn-1dx=1na∫f（axn b）d（axn b），a≠0，n≠0，

　　　　特别地，∫f1x1x2dx=-∫f1xd1x，∫1x f（x）dx=2∫f（x）dx；

　　　　∫axf（ax）dx=1ln a∫f（ax）d（ax），∫exf（ex）dx=∫f（ex）d（ex）；

　　　　∫cos x·f（sin x）dx=∫f（sin x）d（sin x）；

　　　　∫sin x·f（cos x）dx=-∫f（cos x）d（cos x）；

　　　　∫11 x2 f（arctan x）dx=∫f（arctan x）d（arctan x）；

　　　　∫11-x2 f（arcsin x）dx=∫f（arcsin x）d（arcsin x）；

　　　　∫sec xtan x·f（sec x）dx=∫f（sec x）d（sec x）；

　　　　∫csc xcot x·f（csc x）dx=-∫f（csc x）d（csc x）；

　　　　∫f′（x）f（x）dx=∫df（x）f（x）=lnf（x） C。

　　　　上述公式大家不必强行记忆，使用类换元法的关键是“凑”，即将被积函数凑成∫f（□）d□的形式。理论上讲，把任何一个已知的函数放入“□”中都会得到一个凑微分的公式，所以熟练使用凑微分法的基础是对求导公式足够熟悉。

　　　　（三）第二类换元法

　　　　定理2设x=φ（t）是单调的、可导的函数，且φ′（t）≠0，若∫f［φ（t）］φ′（t）dt=G（t） C，则

　　　　∫f（x）dx令x=φ（t）∫f［φ（t）］φ′（t）dt=G（t） C=G［φ-1（x）］ C。

　　　　常见的用第二类换元法计算的情形：

　　　　1.含有二次根式的积分

　　　　被积函数含有积分变量的二次根式，一般用三角替换。主要有如表1-1-3-1中的三种类型。

　　　　表1-1-3-1含有二次根式积分的三角替换

　　　　根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）a2-x2x=asin ta2 x2x=atan tx2-a2x=asec t2.含有x与nax b的积分

　　　　被积函数形如f（x，nax b），一般用幂代换。令t=nax b，把被积函数中的根号去掉，即f（x，nax b）=ftn-ba，t。

　　　　第二类换元法的要求和类换元法稍有不同，现阶段只用掌握两种常见的去根号的方式即可。

　　　　（四）分部积分法

　　　　设u（x）和v（x）具有连续导数，则有分部积分公式

　　　　∫u（x）dv（x）=u（x）v（x）-∫v（x）du（x）或∫u（x）v′（x）dx=u（x）v（x）-∫u′（x）v（x）dx。

　　　　分部积分法一般用于处理不同类型函数相乘的问题，使用的关键是将被积函数f（x）dx凑成u（x）dv（x）的形式，核心是将f（x）分解为u（x）和v′（x）。我们将u（x）和v′（x）选取的一般规律总结如下（下列的Pn（x）为n次多项式）：

　　　　（1）被积函数形如Pn（x）eax，Pn（x）sin ax，Pn（x）cos ax：进行n次分部积分法，每次均取eax，sin ax，cos ax为v′（x），多项式部分为u（x）。

　　　　（2）被积函数形如Pn（x）ln x，Pn（x）arcsin ax，Pn（x）arccos ax：取Pn（x）=v′（x），ln x，arcsin ax，arccos ax为u（x），进行一次分部积分后，再依被积函数的形式考虑其他方法。

　　　　（3）被积函数形如eaxsin bx，eaxcos bx：进行两次分部积分后，移项合并解方程。

　　　　第二节定积分一、定积分的概念及性质2019（一）定积分的概念和几何意义设函数f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入若干个分点

　　　　a=x0＜x1＜…＜xn-1＜xn=b，

　　　　把区间［a，b］分成n个小区间

　　　　［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xn-1，xn］，

　　　　各个小区间的长度依次为

　　　　Δx1=x1-x0，Δx2=x2-x1，…，Δxn=xn-xn-1，

　　　　在每个小区间［xi-1，xi］上任取一点ξi（xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长Δxi的乘积f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n），并作和

　　　　S=ni=1f（ξi）Δxi，

　　　　记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，如果不论对［a，b］怎样划分，也不论在小区间［xi-1，xi］上点ξi怎样选取，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f（x）在区间［a，b］上的定积分（简称积分），记作∫baf（x）dx，即

　　　　∫baf（x）dx=I=limλ→0ni=1f（ξi）Δxi，

　　　　其中f（x）称为被积函数， f（x）dx称为积分表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，［a，b］称为积分区间。

　　　　∫baf（x）dx（a<b）表示曲线y=f（x）与x轴及直线x=a和x=b所围成的平面图形面积的代数和（平面图形位于x轴上方表示面积的正值，位于x轴的下方表示面积的负值）。

　　　　（1）从本质上讲，定积分∫baf（x）dx是一个数，这个数的几何意义是：由曲线y=f（x）（f（x）非负），直线x=a，x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积。如果f（x）不是非负的，则定积分表示的是面积的代数和，即x轴上方的曲边梯形的面积减去x轴下方的曲边梯形的面积。

　　　　（2）计算曲边梯形面积的基本思想可以概括成四步：分割、近似、求和、取极限。这个基本思想称为微元法。

　　　　（3）定积分的定义是一个和式的极限，即limλ→0ni=1f（ξi）Δxi。因此，可以利用定积分的定义计算某些和式的极限。

　　　　极限limn→∞1nsinπn sin2πn … sin（n-1）πn=（）。

　　　　A.1πB.2πC.3πD.4π

　　　　【答案】B。解析：limn→∞1nsinπn sin2πn … sinn-1πn=limn→∞n-1i=11nsiniπn=1πlimn→∞ni=1πn·siniπn=1π∫π0sinxdx=2π。

　　　　（二）函数可积的条件

　　　　1.可积的必要条件：若函数f在［a,b］上可积，则f在［a,b］上必定有界。

　　　　2.可积的充分条件：

　　　　（1）设f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上可积；

　　　　（2）设f（x）在［a，b］上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在［a，b］上可积。

　　　　（三）定积分的性质

　　　　假定下列性质中列出的定积分都存在。

　　　　1.∫ba［k1f1（x） k2f2（x）］dx=k1∫baf1（x）dx k2∫baf2（x）dx；

　　　　2.∫baf（x）dx=∫caf（x）dx ∫bcf（x）dx；

　　　　（2019）∫201-xdx=（）。

　　　　A.∫10（1-x）dx ∫21（1-x）dxB.∫10（1-x）dx ∫21（x-1）dx

　　　　C.∫10（x-1）dx ∫10（x-1）dxD.∫10（x-1）dx ∫21（1-x）dx

　　　　【答案】B。解析：令f（x）=1-x（0<x<2），有f（x）=1-x，0<x≤1，x-1，1<x<2，所以∫20f（x）dx=∫201-xdx=∫10（1-x）dx ∫21（x-1）dx。故本题选B。

　　　　3.比较定理：设a≤b， f（x）≤g（x）（a≤x≤b），则∫baf（x）dx≤∫bag（x）dx；

　　　　该定理常用于比较定积分的大小。由该定理可知，在积分区间相同的情况下，要比较积分值的大小，直接比较被积函数的大小即可。

　　　　4.设a＜b，m≤f（x）≤M（a≤x≤b），则m（b-a）≤∫baf（x）dx≤M（b-a）；

　　　　5.设a＜b，则∫baf（x）dx≤∫baf（x）dx；

　　　　6.定积分中值定理：设f（x）在［a，b］上连续，则至少存在一点ξ∈［a，b］，使得

　　　　∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a），

　　　　称1b-a∫baf（x）dx为f（x）在［a，b］上的积分平均值；

　　　　（1）要注意该定理中的中值ξ是属于闭区间的。

　　　　（2）积分中值定理的证明过程如下：

　　　　由于f在［a,b］上连续，因此存在值M和小值m，由

　　　　m≤f（x）≤M，x∈［a,b］，

　　　　使用积分不等式性质得到

　　　　m（b-a）≤∫baf（x）dx≤M（b-a），

　　　　或m≤1b-a∫baf（x）dx≤M，

　　　　再由连续函数的介值性，至少存在一点ξ∈［a,b］，使得f（ξ）=1b-a∫baf（x）dx。

　　　　7.奇偶函数的积分性质

　　　　∫a-af（x）dx=0（f为奇

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