魔研考研数学之概率论与数理统计 网盘下载 pdf 免费 2025 在线 epub 电子版

本书以**颁布的概率论与数理统计教学大纲和*考试中心组织编写的考研大纲为依据,内容包括了考研数学中概率论与数理统计的全部考点和相关内容。全书各章节均按照讲、练、考(自测)的结构编写,书中例题甄选自历年考研真题和经典题型,使学生在学习上形成一套闭环，而且“魔研君点睛”是本书的一大特色。本书通俗易懂、深入浅出,可作为考研高等数学的备考用书,也可作为大学数学学习的辅导用书,以及数学爱好者的自学教材。

第1章　随机事件与概率……………………………………………………………………… 1

考研大纲要求与重点导学………………………………………………………………… 1

必会基本内容……………………………………………………………………………… 1

一、随机试验与随机事件 …………………………………………………………… 1

二、随机事件的关系与运算 ………………………………………………………… 2

三、随机事件的概率P(A)与古典概型、几何概型 ……………………………… 3

四、条件概率 ………………………………………………………………………… 6

五、全概率公式和贝叶斯公式 ……………………………………………………… 7

六、事件的独立性 …………………………………………………………………… 8

考试题型与解析 ………………………………………………………………………… 10

题型一:事件的关系与运算 ……………………………………………………… 10

题型二:古典概型与几何概型 …………………………………………………… 11

题型三:概率与条件概率 ………………………………………………………… 13

题型四:事件的独立性 …………………………………………………………… 16

自测题精选 ……………………………………………………………………………… 17

第2章　随机变量及其分布 ………………………………………………………………… 21

考研大纲要求与重点导学 ……………………………………………………………… 21

必会基本内容 …………………………………………………………………………… 21

一、随机变量的概念及其分类 …………………………………………………… 21

二、随机变量的分布函数 ………………………………………………………… 22

三、离散型随机变量的概率分布 ………………………………………………… 22

四、连续型随机变量的概率分布 ………………………………………………… 23

五、常用分布 ……………………………………………………………………… 25

六、一维随机变量函数的分布……………………………………………………… 27

考试题型与解析 ………………………………………………………………………… 27

题型一:随机变量分布函数 ……………………………………………………… 27

题型二:离散型随机变量分布律 ………………………………………………… 29

题型三:离散型随机变量分布律与分布函数的关系 …………………………… 31

题型四:连续型随机变量的概率密度函数、分布函数及概率 …………………… 32

题型五:常见分布 ………………………………………………………………… 34

题型六:随机变量函数的分布 …………………………………………………… 36

自测题精选 ……………………………………………………………………………… 38

第3章　多维随机变量及其分布 …………………………………………………………… 43

考研大纲要求与重点导学 ……………………………………………………………… 43

必会基本内容 …………………………………………………………………………… 43

一、二维随机变量及其分布函数 ………………………………………………… 43

二、二维离散型随机变量 ………………………………………………………… 44

三、二维连续型随机变量 ………………………………………………………… 45

四、二维随机变量的独立性 ……………………………………………………… 46

五、二维随机变量函数的分布 …………………………………………………… 47

考试题型与解析 ………………………………………………………………………… 48

题型一:二维随机变量分布函数 ………………………………………………… 48

题型二:二维离散型随机变量 …………………………………………………… 49

题型三:二维连续型随机变量 …………………………………………………… 53

题型四:二维常见分布相关性质 ………………………………………………… 59

题型五:二维随机变量函数的分布 ……………………………………………… 60

自测题精选 ……………………………………………………………………………… 65

第4章　随机变量的数字特征 ……………………………………………………………… 71

考研大纲要求与重点导学 ……………………………………………………………… 71

必会基本内容 …………………………………………………………………………… 71

一、数学期望定义及性质 ………………………………………………………… 71

二、方差的定义及性质 …………………………………………………………… 72

三、几种重要分布的数字特征 …………………………………………………… 72

四、随机变量的矩 ………………………………………………………………… 73

五、协方差的定义及性质 ………………………………………………………… 73

六、相关系数定义及性质 ………………………………………………………… 73

考试题型与解析 ………………………………………………………………………… 74

题型一:一维随机变量的数字特征 ……………………………………………… 74

题型二:一维随机变量函数的数学期望 ………………………………………… 75

题型三:二维随机变量函数的数字特征 ………………………………………… 77

题型四:二维随机变量函数相关性的判定 ……………………………………… 80

自测题精选 ……………………………………………………………………………… 80

第5章　大数定理与中心极限定理 ………………………………………………………… 86

考研大纲要求与重点导学 ……………………………………………………………… 86

必会基本内容 …………………………………………………………………………… 86

一、切比雪夫不等式 ……………………………………………………………… 86

二、大数定理 ……………………………………………………………………… 86

三、中心极限定理 ………………………………………………………………… 87

考试题型与解析 ………………………………………………………………………… 88

题型一:切比雪夫不等式估值问题 ……………………………………………… 88

题型二:大数定理 ………………………………………………………………… 88

题型三:中心极限定理 …………………………………………………………… 89

自测题精选 ……………………………………………………………………………… 90

第6章　数理统计基本概念 ………………………………………………………………… 93

考研大纲要求与重点导学 ……………………………………………………………… 93

必会基本内容 …………………………………………………………………………… 93

一、总体与简单随机样本 ………………………………………………………… 94

二、统计量 ………………………………………………………………………… 95

三、经验分布函数(数学三) ……………………………………………………… 96

四、正态总体三大抽样分布 ……………………………………………………… 97

五、正态总体的样本均值和样本方差的分布 …………………………………… 99

考试题型与解析………………………………………………………………………… 100

题型一:统计量 …………………………………………………………………… 100

题型二:正态总体的抽样分布 …………………………………………………… 102

题型三:统计量的数字特征 ……………………………………………………… 106

自测题精选……………………………………………………………………………… 110

第7章　参数估计…………………………………………………………………………… 113

考研大纲要求与重点导学……………………………………………………………… 113

必会基本内容…………………………………………………………………………… 113

一、点估计 ………………………………………………………………………… 113

二、区间估计(数学一)…………………………………………………………… 118

考试题型与解析………………………………………………………………………… 121

题型一:矩估计 …………………………………………………………………… 121

题型二:矩估计量的评价标准(数学一)………………………………………… 126

题型三:区间估计(数学一)……………………………………………………… 130

自测题精选……………………………………………………………………………… 132

第8章　假设检验(数学一)………………………………………………………………… 135

考研大纲要求与重点导学……………………………………………………………… 135

必会基本内容…………………………………………………………………………… 135

一、假设检验的基本思想 ………………………………………………………… 135

二、假设检验的基本概念 ………………………………………………………… 136

三、两类错误和显著性检验 ……………………………………………………… 136

四、假设检验的一般步骤 ………………………………………………………… 136

五、正态总体参数的假设检验 …………………………………………………… 137

考试题型与解析………………………………………………………………………… 138

自测题精选……………………………………………………………………………… 140

附录　小侯七谈考研数学备考攻略………………………………………………………… 142

小侯七   新东方上海学校考研数学组组长，新东方武汉学校考研数学特聘顾问，魔研考研数学教研室负责人，新东方考研梦想宣讲团首席讲师，新东方有价值教师奖（MVT）中的考研数学讲师.

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第1章随机事件与概率

考研大纲要求与重点导学

1. 本章大纲及考试要求

(1) 了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.

(2) 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式.

(3) 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算； 理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.

2. 本章概要与重点导学

本章主要解决概率论的基础问题，我们首先要掌握事件的关系和运算，在此基础上去领会概率是什么，学习概率的公理化定义，特别注意条件概率和事件独立性的判定方法.本章还将学习两个概率模型——古典概型和几何概型.后，将学习两个重要公式——全概率公式和贝叶斯公式.本章是整个概率论的基石，请大家务必搞懂、学透.

必会基本内容

一、  随机试验与随机事件

1. 随机试验(E)

将具有以下三个特点的试验称为随机试验：

(1) 可以在相同条件下重复进行；

(2) 试验的可能结果不，但能确定所有可能结果；

(3) 试验之前无法确定具体哪一个结果发生.

2. 样本空间(Ω)与样本点(ω)

随机试验所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}.

随机试验的每一个结果称为样本点.

3. 随机事件(A，B，C)

样本空间Ω的子集称为随机事件,简称“事件”.

4. 随机事件的分类

(1) 基本事件

一个样本点组成的事件称为基本事件.

(2) 复合事件

由两个或两个以上样本点组成的事件称为复合事件.

(3) 必然事件

样本空间Ω包含所有样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件，记为Ω.

(4) 不可能事件

空集不包含任何样本点，但它也作为样本空间的子集，只是在每次试验中都不发生，称为不可能事件，记为.

5. 事件发生

在每次试验中，事件有且仅有一个样本点出现时，称事件发生.

魔研君点睛

随机事件的研究，正是概率论与数理统计这门学科探究事物发生背后规律性的体现.考生要能清晰地通过特征识别随机试验，而且要搞清楚样本空间与随机事件的关系，这对日后的学习都有好处哟.

二、 随机事件的关系与运算

1. 随机事件的关系与运算

关系符号含义文氏图

包含AB事件A发生必然导致事件B发生

相等A=BAB且BA，则A=B

和（并）A B或A∪B事件A和事件B至少有一个发生

积（交）AB或A∩B事件A和事件B同时发生

差A-B或A事件A发生且事件B不发生

续表

关系符号含义文氏图

互斥AB=事件A和事件B不同时发生

对立A，表示事件A不发生

完备事件组A1，A2，…，An彼此互斥，且A1 A2 … An=Ω.则称A1,A2,…,An为完备事件组

2. 随机事件的运算律

(1) 交换律： A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.

(2) 结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.

(3) 分配律： A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

(4) 德·摩根律(对偶律)： A∪B=∩,A∩B=∪.

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前言

前　　言

一个出身武术世家的数学老师的数学梦小侯七在来到新东方做考研数学老师之前,我为人知的身份是“侯家拳传人”.我8岁开始跟随爷爷学习的侯家拳,那时学的是皮毛;十几岁的时候拜师吉林武术名家陈国诚,系统地学习了陈式太极拳和一些刀法、剑法,算是小有成绩;到大庆后,与东北众多武术名家亦师亦友,学到了包括太极拳、螳螂拳、查拳在内的很多拳种;再后来到上海,更是得到了武术泰斗“神拳大龙”蔡龙云老先生的指点,将原本无标准套路的侯家拳虎搏功整理出入门三大母拳:静山桩、虎搏缠手、川杨功.我不仅仅是学功夫,更是热衷于传播功夫,先后成立过“中华振武会”“Tiger武学堂”等武术组织,搞国际武术文化推广.前前后后有十几个国家的留学生和访华团体,都是带着我教给他们的中国功夫回到自己的国家的.为什么在武术界风生水起的我,突然转行到了教育行业? 其实不是转行,而是“谋条生路”.振兴武术是我一生的坚持,只要我还活着,只要有机会,我就肯定会把中国的国粹推广和发扬.但同学们,追求梦想的前提是活下去,活下去就需要有经济来源.而我振兴武术略显“愚忠”,从来不收一分钱,既不收个人的学拳费,也不收组织的劳务费,除了收过上海理工大学日本文化交流中心的200元补贴外,这辈子在武术上我没赚过其余一分钱.侯氏家族虽不敢称名门望族,但家中一直都有代代相传的家族文化,武术在我们家族是神圣的,能和我学习侯家拳,说明我们有缘分,你我是有缘人,怎么还能收费呢? 不可以.可我到底该靠什么来生活? 随随便便对付一份工作? 那样我觉得是浪费人生.我有三大爱好,还有三种爱吃的食物,分别是“读书、练武、做数学,牛肉、土豆、炒番茄”.读书我曾经做过“小侯七读书会”,虽然影响不大,但充满着读书人的情怀;练武自不用多说,我骨子里都流着武术人的血液,对我来说举手投足都是练武,没真正去做的那就是做数学了.我自小就喜欢数学,尤其高中时遇到了一位有魔力的班主任数学老师,更是让我对数学产生了浓厚的兴趣.如果说一定要让我找一个可以维持生计的工作,那我毫无疑问会选择做数学.重要的是,做数学是我的三大爱好之一,与我那充满浓浓情怀的人生规划并不矛盾.就这样,我来到了上海新东方,一不留神在终极面试中成为了全校名,做了考研数学老师,更是一不留神还成了考研数学项目组长、考研数学教研负责人,当了“官”了.从我做考研数学老师那天起,我给自己定了三个规矩:踏踏实实教知识,认认真真搞教育,堂堂正正为人师.每次面对学生或者走上讲台前,我都会提醒自己,千千万万不能忘了这三个规矩.所以,在以往的教职生涯中,我敢拍着胸脯说做到了无愧于心.在和学生的交流中,我发现很多学生的基础并不好.有些同学可能是毕业多年,早已经将数学知识还给当年的老师了;有些同学虽在校园但前几年没有认真学数学,现在决定要考研才发现自己的数学不行.什么原因导致的数学基础不好,我并不关心,我只关心如何能把数学教好,如何能让打算考研的同学们把数学学好.市面上考研数学的辅导书非常多,而且大多写得都不错,但我也有自己的想法,比如能不能用通俗、直白、“接地气”的语言解释数学概念,能不能有让同学们一目了然、一点即通的“点睛”部分,等等.带着这些想法,2017年愚人节,我便与我的挚友清华大学出版社汪操老师沟通,他对我的想法很支持,给出了很多建议.就这样,我开始组建团队,周洋鑫和崔原铭这两位优秀的考研数学老师走进了我的视野.我和周洋鑫初识是在2017年9月,当时新东方教育科技集团组织教师赛课,洋鑫是数学组赛课名.他的讲课风格和对数学的理解,我非常欣赏.从那时起我们成了彼此考研数学圈好的朋友之一.深入了解后我得知,他是北京新东方的骨干名师、博士,对数学有着独特的认知.我将我的图书规划讲给他听,他非常激动,说:“侯哥,这正是我想要的考研数学辅导用书.”还记得有一天,我去北京出差,他带着我逛他博士就读的母校,边走边和我说他关于数学的梦想,以及他对爱情、事业甚至人生的规划.我静静地听着,心中却早已无法压抑那份激动,因为我觉得此人绝非等闲之辈,实乃有鸿鹄之志的“天才少年”.就这样,我正式邀请他加入我的团队,全面参与“魔研考研数学系列”的编写工作.事实证明,我的决定是正确的.崔 原铭是复旦高材生,曾经在上海新东方兼职,但由于各种原因并没有上台讲课,毕业后去了上汽通用汽车有限公司工作.在我刚刚担任考研数学项目组长的时候,他就特别积极地联系我,说要重回新东方,实现自己的数学梦.当时我由于课程任务重,管理工作繁忙,所以并没有“搭理”他.但他特别执着,一定坚持要见我,于是我就约他来了上海新东方总部.还记得那是2017年10月的一个下午,我俩在上海新东方总部咖啡吧次见面,在接下来的沟通中,我发现他竟然也是个数学天才,2017年我接触的全国考研数学老师数以百计,新东方数学团队也有七八十人,让我“心动”的除了洋鑫,就是原铭了.还记得在上海南路一家餐厅用餐时,他说:“侯哥,数学并不枯燥,是讲课人的方法太枯燥;数学可以很通俗易懂,是易懂的书太少.就像做菜一样,材料都相同,要有一个好厨师调配.”后来,他正式加入到新东方考研数学的大家庭,其超强的能力也得到了其他同事的认可.再后来,我又把他拉进“魔研考研数学系列”的编写团队.我们三人的合作非常愉快,三本书我们都有参与,但根据各自的擅长,每本书每人负责若干章节.在很多人眼里,写这种辅导用书,不就是“复制”和“粘贴”吗? 但看拳和打拳真不一样,我们对每个概念都会选自己认为恰当的描述方式,对每一道题的选取都精挑细琢、深思熟虑,并且在课堂上通过学生检验.让我感动的是2018年除夕夜,当晚10点左右,在安徽泾县“娘家”过年的我刚刚陪完亲戚,打算拿出电脑和一堆材料开始整理书稿的时候,突然洋鑫来电,他略带疲惫地问:“侯哥在干嘛?”我打了个哈欠说:“酒也喝了,鞭炮也放了,饺子也包了,该写写书、做做题了.”洋鑫一下子兴奋起来,说:“我也正打算写书稿,要不我们一起?”因为对数学知识点的认识需要全面和准确,所以我们三人经常讨论,因此常常会保持语音通话的状态一起写书.我说:“不知道原铭有没有空.”洋鑫说:“是他打电话告诉我,他要写书稿,恰好我也有此意,才给你打的电话.”那一瞬间我感动了.两个兄弟都这么努力,我这当大哥的还能掉队吗? 必须写起来!……我要感谢上海新东方王洛老师、新东方集团张伟老师、清华大学出版社汪操老师,还要感谢我的助理老师们,在我因工作量大而无法分身时,他们帮我梳理了部分基础性材料,花费了大量心血.后,感谢新东方教育科技集团和清华大学出版社的大力支持,是你们让“魔研考研数学系列”有了诞生的可能.总体来说,《魔研考研数学之高等数学》《魔研考研数学之线性代数》和《魔研考研数学之概率论与数理统计》是我和洋鑫还有原铭倾尽心血完成的三本书,但由于能力有限、时间仓促,在编写过程中难免有不足之处,请读者、同行以及专家朋友们多多提出宝贵意见,我们愿意积极改正并同步提高.小侯七敬上.